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Arturo Reghini, Dei Numeri Pitagorici. Parte I – Libro II. Delle soluzioni primitive dell’equazione di tipo Pell x² – Dy² = B e del loro numero, a cura di Stefano Loretoni e Christian Scimiterna, Archè – Edizioni PiZeta, Milano – San Donato (MI), 2012, pp. 159.

 

A sei anni di distanza dall’uscita del primo corposo volume dell’opera di Arturo Reghini dedicata ai numeri pitagorici, esce finalmente l’atteso volume secondo, interamente dedicato all’equazione di tipo Pell. Questa pubblicazione fa ben sperare nel prossimo completamento dell’intero progetto, la cui importanza s’impone per diverse ragioni. Una prima ragione, assai importante, considerato il sempre vigente falso luogo comune secondo cui l’esoterismo non sia altro che un’espressione perniciosa dell’irrazionalità umana, risiede proprio nella netta e totale smentita che, proprio con questa sua monumentale opera, Reghini dà a tale infondato pregiudizio – valido, semmai, per tutte le falsificazioni ed aberrazioni dell’esoterismo autentico. Egli, infatti – proprio come gli antichi Pitagorici di cui si riteneva, crediamo non a torto, un legittimo erede -, seppe sempre coniugare, con la massima naturalezza, il suo impegno nel campo esoterico con la ricerca scientifica più rigorosa. Razionalità e sovrarazionalità. Ragione e Spirito. In questo, anche prescindendo dalle sue conquiste nell’ambito prettamente matematico, Reghini non potrà che essere riconosciuto esemplare, soprattutto se si è ben consapevoli del tragico divorzio tra la metafisica e le scienze – sia puramente matematiche che fisiche – consumatosi con la nascita della scienza moderna.

La seconda ragione per la quale al suo notevole sforzo intellettuale si deve riconoscere tutta l’importanza dovuta, è che il nostro ha inteso proseguire risolutamente lungo la stessa direttrice di Diofanto di Alessandria, il quale, per primo – a quanto ne sappiamo -, si occupò della stessa famiglia di equazioni da lui indagate, e dei numeri figurati tramandati dai Pitagorici; ed è precisamente in ciò che dobbiamo ravvisare un grande merito, giacché Reghini, in questo modo, ristabilendo una certa continuità storica tra la matematica pitagorica e quella dei tempi moderni – quantomeno in quella sua parte che non risulta affetta da alcune tendenze affatto irrazionali -, pone le premesse affinché perlomeno una minoranza di matematici odierni, opportunamente orientati verso la Tradizione anche grazie al suo ammirevole esempio, ritornino a quella stessa scienza sacra di Pitagora.

Ora, non intendiamo qui soffermarci sul contenuto prettamente matematico dell’opera, sia perché tale compito spetterebbe ad un matematico di professione, e sia perché l’argomento, considerato nel suo aspetto tecnico, esulerebbe dall’ambito specifico dei temi da noi generalmente trattati. Piuttosto, possiamo opportunamente evidenziare come la questione specificamente affrontata da Reghini si ricolleghi effettivamente a questioni matematiche genuinamente pitagoriche, e come queste ultime possano essere riferite ad uno speciale settore del simbolismo numerico. Anticipando i temi che verranno specificamente trattati nei successivi cinque volumi che ancora mancano al completamento dell’opera reghiniana, possiamo fin d’ora dire che la scoperta dei metodi alternativi di risoluzione dell’equazione di tipo Pell ha come conseguenza principale quella di consentirci di trovare sistematicamente i valori di un particolare ed importante numero pitagorico. Prima di essere più espliciti in merito, dobbiamo necessariamente far menzione dei cosiddetti numeri «laterali» e «diagonali», o «diametrali», ai quali lo stesso Platone fa tacitamente riferimento, nella sua Politeia, a proposito dell’enigmatico «numero delle Muse», su cui non ci diffonderemo. Fu per primo Teone di Smirne a fornirci una trattazione sintetica di tali numeri speciali, per cui egli ci insegna che un numero «laterale» ed uno «diagonale» possono essere considerati, come il loro stesso nome suggerisce, rispettivamente, il primo come analogo al lato di un quadrato, ed il secondo come alla sua diagonale.

Ora, la relazione tra i due è tale che, considerato un numero laterale L, ed uno diagonale D, si ha che D² – 2L² = ± 1. Ecco dunque la stretta attinenza con l’equazione di Pell; e v’è infatti da dire, inoltre, che la serie indefinita di coppie di numeri laterali e diagonali, stando alle sole indicazioni di Teone, Giamblico e Proclo – anche se non sarebbe lecito, secondo noi, sostenere che essi ignorassero anche il suddetto metodo algebrico -, poteva essere trovata con estrema fatica con un assai scomodo procedimento iterativo; infatti, partendo dalla prima coppia L = 1 e D = 1, avremo L’ = L + D = 2 e D’ = 2L + D = 3; dopodiché avremo L” = L’ + D’ = 5 e D” = 2L’ + D’ = 7; e così via.

Malgrado le apparenze, nonché l’opinione della maggioranza degli esperti del settore, il vero scopo delle operazioni legate a tali particolari numeri non era principalmente quello di trovare il valore approssimativo della diagonale di un quadrato, giacché l’ambito reale in cui questi speciali numeri si collocano non è quello della matematica applicata alla geometria, ma della matematica pura, la quale, avendo per oggetto esclusivamente i numeri interi, e possedendo un carattere di assoluta esattezza, esclude categoricamente qualunque genere di calcolo approssimativo. Per rendersene ulteriormente conto, tralasciando le suddette questioni di principio, bisogna osservare come invariabilmente il prodotto D²L², oltre ad essere ovviamente un numero quadrato, sia anche un numero triangolare. Ricordando subito, quindi, che il triangolare T di un qualsiasi numero N è T = N(N + 1) : 2, consideriamo ora i due casi distinti:

  1. D² – 2L² = 1;

  2. D² – 2L² = – 1.

Nel primo caso, si ha: D² – 2L² = 1 => – 2L² = – D² + 1 => 2L² = D² – 1 => L² = (D² – 1) : 2

Sostituendo opportunamente quanto ottenuto nel prodotto D²L² abbiamo: D²(D² – 1) : 2, ossia il triangolare di N = D² – 1.

Nel secondo caso, invece, si ha: D² – 2L² = – 1 => – 2L² = – D² – 1 => L² = (D² + 1) : 2; per cui, effettuando la stessa sostituzione del caso precedente, abbiamo che D²L² diviene: D²(D² + 1) : 2, che è il triangolare di N = D².

Un esempio del primo caso è la coppia D = 3, L = 2, in cui 3² – (2 x 2²) = 1; per cui 4 x 9 = 36, che è il triangolare di 9 – 1 = 8 oltre che il quadrato di 6.

Un esempio del secondo caso si ha con la coppia D = 7 e L = 5, in cui 7² – (2 x 5²) = – 1; per cui 49 x 25 = 1225, che è il triangolare di 49 oltre che il quadrato di 35.

Strettamente connesso allo stesso problema di trovare i numeri sia quadrati che triangolari è l’equazione di Pell: X² – 8Y² = 1, in cui X² dev’essere necessariamente dispari, poiché, considerando X² – 1 = 8Y², se X² fosse pari, sarebbe impossibile che lo fosse anche 8Y². Questo particolare caso assume un notevole significato sulla base del teorema pitagorico secondo cui, sottraendo l’unità ad un quadrato dispari, e dividendo per 8 il risultato, si ottiene necessariamente un numero triangolare. Infatti, per essere vero che X² – 1 = 8Y², Y² dev’essere assolutamente anche un numero triangolare. Impiegando i numeri già visti sopra, osserviamo che, per X = 17 e Y = 6, abbiamo che 289 – 1 = 8 x 36; e che, per X = 99 e Y = 35, si ha: 9801 – 1 = 8 x 1225.

Non resta, quindi, che considerare il simbolismo di tale eccellente numero che è sia triangolare che quadrato, per evidenziarne l’importanza nell’ambito strettamente esoterico. Possiamo, innanzitutto, giusto per darne una prima idea, sottolineare come lo stesso numero 36, in base alla testimonianza di Plutarco, fosse chiamato «Cosmo» dai Pitagorici, essendo infatti il numero dei «decani» sia nell’astronomia che nell’astrologia tradizionali degli Egiziani (36 x 10° = 360° del cerchio celeste); e come il numero 1225 sia il valore del quadrato magico di Venere, connesso all’ebdomade.

Tralasciati ora questi primi preziosi riferimenti, dobbiamo ora indagare il significato intrinseco di questo tipo di numero, e non potremo far altro che riferirci alla relazione simbolica sussistente tra il quadrato ed il triangolo nella geometria sacra dei Pitagorici; trasporremo poi quanto si riferisce al quadrato geometrico riferendolo al numero quadrato, e lo stesso faremo col triangolo riferendoci al numero triangolare. Ebbene, Proclo, nel suo Commento al Libro I degli Elementi di Euclide, dopo aver ricordato che Filolao riferiva tre dèi al lato del quadrato, e quattro dèe a quello del triangolo, sostiene che tale reciprocità (3 x 4 = 4 x 3 = 12) così stabilita tra il Ternario ed il Quaternario sacri, simboleggiava la sacra Dodecade divina riferita allo stesso Zeus, la quale rappresenta la sintesi del cosmo intero; ed in effetti è ben noto che l’astrologia tradizionale divideva in dodici parti il cerchio zodiacale per mezzo di tre quadrati (secondo la «quadratura») oppure di quattro triangoli (secondo il «trigono»).

Adesso, invece, intendiamo ricordare lo studio in cui René Guénon, ponendo in relazione i simboli pitagorici della Tetraktys e del «quadrato di quattro», afferma che, essendo la prima, in quanto triangolo, un ternario; mentre il secondo un quaternario, la loro somma indica l’unione dei due principî; per cui, essendo 3 + 4 = 7, essa indica il settenario divino. Dunque, nel caso del numero sia quadrato che triangolare ciò dev’essere considerato ancor più vero, giacché in esso non si ha la semplice somma dei numeri simboleggianti i due principî, bensì la loro pura coincidenza, la quale, in quanto chiaramente intrinseca, ne costituisce un’unione ancor più profonda che nell’altro caso. Per questa stessa ragione, lo speciale numero considerato può essere considerato un simbolo dell’Androgino divino, che è infatti sia maschio che femmina, se è vero, come sembra chiaramente presupporre Proclo, che il quadrato è un simbolo maschile, mentre il triangolo uno femminile; senza contare pure che i Pitagorici consideravano il dispari analogo al genere maschile, mentre il pari a quello femminile. Questo simbolismo è assai complesso, e pertanto sarebbe necessario illustrarne alcuni ulteriori elementi, ma ciò ci condurrebbe lontano dal presente contesto.

In base a tutto quanto visto finora, non possiamo che concludere affermando che il numero sia quadrato che triangolare rappresenta sia l’Ebdomade (3 + 4 = 7) che la Dodecade (3 x 4 = 12) sacre, e che ad entrambe, evidentemente, si vota la risoluzione di una parte assai significativa delle equazioni di Pell, che pure si riferiscono al particolare binomio dei numeri laterali e diagonali.

Auguriamo calorosamente, infine, ai due valenti curatori del volume in oggetto, nonché ai suoi lodevoli editori, di portare a compimento quanto prima, e nel migliore dei modi, il loro nobile impegno.

 

Giovanni M. Tateo

 

 

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